Valeur moyenne d'une fonction

Définition

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que \(a.   Soit $f$  une fonction continue sur $[a;b]$ .
La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$  est le réel  $\boxed{{\displaystyle \mu ={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x}}}$ .

Remarque  Interprétation graphique dans le cas où $f$ est positive

Par définition de $\mu$ , on a  $(b-a)\mu ={\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x}$ .
On suppose que $f$ est positive.
Donc ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x}$ est l'aire sous la courbe représentative de $f$ entre $a$ et $b$ , en unité d'aire, dans un repère orthogonal.
Cette aire est donc égale à celle du rectangle dont les dimensions sont $(b-a)$  et $\mu$ . Cette aire est aussi celle sous la courbe, entre $a$ et $b$ , de la fonction constante égale à $\mu$ .